ما هي الأعداد الأولية مع الأمثلة

الأعداد الأولية هي مفهوم أساسي في الرياضيات أذهل علماء الرياضيات لعدة قرون. تلعب هذه الأرقام دورًا مهمًا في العديد من النظريات والتطبيقات الرياضية ، من التشفير إلى نظرية الأعداد. في هذه المقالة ، سوف نستكشف ماهية الأعداد الأولية ، وسبب أهميتها ، ونقدم بعض الأمثلة لمساعدتك على فهم هذا المفهوم الرياضي الرائع.

الرقم الأولي هو عدد صحيح موجب لا يقبل القسمة إلا على 1 وعلى نفسه. بمعنى آخر ، العدد الأولي ليس له عوامل أخرى غير 1 ونفسه. على سبيل المثال ، الأعداد الأولية القليلة هي:

2 ، 3 ، 5 ، 7 ، 11 ، 13 ، 17 ، 19 ، 23 ، 29 ، 31 ، 37 ، 41 ، 43 ، 47 ، 53 ، 59 ، 61 ، 67 ، 71 ، 73 ، 79 ، 83 ، 89 ، 97. ..

كما ترى ، لا يمكن تقسيم هذه الأرقام إلا بالتساوي على 1 وعلى أنفسهم. على سبيل المثال ، 5 هو عدد أولي لأنه لا يمكن تقسيمه إلا على 1 و 5 ، بينما 6 ليس عددًا أوليًا لأنه يمكن تقسيمه على 1 و 2 و 3 و 6.

الأعداد الأولية هي لبنات بناء أساسية للرياضيات لأنها أساس نظرية الأعداد ، فرع الرياضيات الذي يتعامل مع خصائص الأعداد. على سبيل المثال ، تنص النظرية الأساسية للحساب على أن كل عدد صحيح موجب يمكن التعبير عنه بشكل فريد باعتباره نتاج الأعداد الأولية. هذه النظرية ضرورية للعديد من النظريات الرياضية ، بما في ذلك علم التشفير وعلوم الكمبيوتر.

مفهوم آخر مهم يتعلق بالأعداد الأولية هو غربال إراتوستينس ، طريقة لإيجاد جميع الأعداد الأولية حتى حد معين. تتضمن هذه الطريقة إنشاء قائمة بجميع الأرقام حتى النهاية ، ثم شطب جميع مضاعفات 2 و 3 و 5 وهكذا حتى تبقى الأعداد الأولية فقط. يعتبر Sieve of Eratosthenes أداة مهمة لفهم توزيع الأعداد الأولية ولإيجاد الأعداد الأولية بسرعة.

لتوضيح قوة وتنوع الأعداد الأولية ، ضع في اعتبارك المثال التالي:

تريد خديجة إرسال رسالة سرية إلى سلمى. قررت استخدام طريقة تسمى تشفير RSA ، والتي تعتمد على حقيقة أنه من الصعب للغاية تحليل الأرقام المركبة الكبيرة إلى عواملها الأولية. تختار خديجة عددين أوليين كبيرين ، لنقل p = 107 و q = 131 ، وتضربهما للحصول على n = p * q = 14،017. اختارت أيضًا عددًا صحيحًا e الذي هو نسبيًا (p – 1) (q – 1) ، لنقل e = 7. ثم قامت بحساب d ، معكوس e modulo (p – 1) (q – 1) ، باستخدام تمديد الخوارزمية الإقليدية ، وتنشر (n, e) كمفتاح عام لها.

لتشفير رسالتها ، تقوم خديجة أولاً بتحويل كل حرف إلى رقم باستخدام رمز مثل ASCII ، ثم ترفعه إلى قوة e modulo n. الرقم الناتج هو الرسالة المشفرة. قامت سلمى ، التي تلقت الرسالة المشفرة ، برفعها إلى قوة d modulo n لاستعادة الرسالة الأصلية. يعتمد أمان تشفير RSA على حقيقة أنه من الصعب جدًا تضمين n في عوامله الأولية ، حتى مع أفضل الخوارزميات المعروفة.

في الختام ، تعد الأعداد الأولية مفهومًا أساسيًا في الرياضيات مع تطبيقات مهمة في التشفير ، ونظرية الأعداد ، ومجالات أخرى. من خلال فهم خصائص وتطبيقات الأعداد الأولية ، يمكننا إطلاق العنان لقوة هذا المفهوم الرياضي الرائع واستخدامه لحل أكثر المشكلات الرياضية تعقيدًا.